Quando una corda di chitarra vibra, l’orecchio sente una nota sola. Eppure quella nota è un insieme: dentro di essa suonano contemporaneamente decine di frequenze diverse, ordinate secondo una regola matematica che si ripete identica in un violino, in una canna d’organo, in una voce umana. Questa regola si chiama serie degli armonici, ed è forse il fatto fisico più importante di tutta la musica.
In questo magazine si è già parlato di come gli armonici si ascoltano in un drone e di come i cantanti di Tuva riescano a isolarli con la voce. Qui si fa un passo indietro, verso la fisica: da dove vengono gli armonici, perché alcuni strumenti ne hanno alcuni e non altri, come la scienza dell’Ottocento ha capito che il timbro di un suono dipende da loro, e perché campane e piatti non seguono affatto la regola.
Una corda, molti modi di vibrare
Si immagini una corda tesa tra due punti fissi. Il modo più semplice in cui può vibrare è come un’unica arcata che oscilla avanti e indietro: è il modo fondamentale, che produce la frequenza più bassa. Ma la stessa corda può anche dividersi in due metà che vibrano in opposizione, con un punto immobile al centro; oppure in tre terzi, in quattro quarti, e così via. Ciascuna di queste suddivisioni vibra a una frequenza che è un multiplo intero della fondamentale: il doppio, il triplo, il quadruplo.
A dare un nome a questi fenomeni fu il matematico francese Joseph Sauveur, che in una memoria pubblicata dall’Accademia delle scienze di Parigi per il 1701 chiamò le vibrazioni superiori «sons harmoniques» e i punti immobili della corda «nœuds», nodi. Entrambi i termini sono ancora in uso, così come la parola «acustica», che Sauveur propose per indicare la scienza del suono in generale. Curiosamente, secondo il Dictionary of Scientific Biography, Sauveur non aveva orecchio musicale e si faceva aiutare dai musicisti per le sue verifiche.
Chi suona uno strumento ad arco o una chitarra conosce bene questo fenomeno: sfiorando la corda in un punto che la divide in parti uguali, per esempio a metà o a un terzo della lunghezza, si sopprime il modo fondamentale e si sentono gli armonici. Come spiega il gruppo di acustica musicale dell’Università del Nuovo Galles del Sud, a Sydney, sfiorare la corda a un ennesimo della sua lunghezza produce una nota a n volte la frequenza fondamentale, e la regola funziona per una dozzina di armonici prima che la rigidità della corda cominci a falsarla.
La serie e i suoi intervalli
Ordinando gli armonici dal basso verso l’alto si ottiene una sequenza che ogni musicista riconosce. Tra il primo e il secondo c’è un’ottava (rapporto 2:1); tra il secondo e il terzo una quinta (3:2); tra il terzo e il quarto una quarta (4:3); tra il quarto e il quinto una terza maggiore (5:4). Più si sale, più gli intervalli si stringono: il settimo armonico cade leggermente sotto la settima minore del pianoforte, e oltre l’ottavo gli intervalli diventano più piccoli di un tono, fino ai microtoni. Gli intervalli fondamentali della musica occidentale, e di molte altre tradizioni, sono già scritti in un singolo suono.
Conviene chiarire tre parole che si usano spesso come sinonimi. Si chiama parziale ogni componente sinusoidale di un suono, qualunque sia la sua frequenza. Si chiama armonico una parziale la cui frequenza è un multiplo intero della fondamentale; la fondamentale stessa è il primo armonico. Il termine «ipertono» o «sopratono» indica le componenti sopra la fondamentale, e la numerazione è sfalsata di uno: il primo ipertono è il secondo armonico. In un suono armonico parziali e armonici coincidono; in un suono inarmonico, come si vedrà, le parziali non stanno su multipli interi.
Canne aperte, canne chiuse
Lo stesso principio vale per l’aria che vibra dentro un tubo, con una differenza decisiva. Un tubo aperto a entrambe le estremità, come un flauto, risuona su tutti gli armonici, come una corda. Un tubo cilindrico chiuso a un’estremità, invece, risuona soltanto sugli armonici dispari: il primo, il terzo, il quinto. Il clarinetto, che si comporta in modo simile, nel registro grave ha armonici dispari forti e armonici pari deboli, e questo spiega buona parte del suo colore scuro e cavo.
La serie degli armonici, quindi, non è soltanto un ordine matematico astratto: è anche una sorta di impronta. Quali armonici sono presenti e con quale intensità dipende dalla forma fisica dello strumento, dal modo in cui viene eccitato e dal punto in cui lo si eccita.
Fourier, Helmholtz e la scoperta del timbro
Lo strumento matematico per descrivere tutto questo arrivò da un campo lontano dalla musica. Il 21 dicembre 1807 Joseph Fourier presentò all’Istituto di Francia una memoria sulla propagazione del calore nei corpi solidi, in cui sosteneva che funzioni molto diverse si possono esprimere come somme di onde trigonometriche. Lagrange e Laplace sollevarono obiezioni, ma la teoria di Fourier, pubblicata in forma definitiva nel 1822 con la Théorie analytique de la chaleur, divenne uno dei pilastri della fisica. Applicata al suono, dice una cosa precisa: una vibrazione periodica ha uno spettro armonico, e una somma di armonici produce una vibrazione che si ripete alla frequenza della fondamentale.
Fu Hermann von Helmholtz a trasformare questa idea in una teoria della percezione. Nel 1863 pubblicò Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, noto in italiano come «Sulla sensazione del suono» e tradotto in inglese da Alexander Ellis nel 1875. Per analizzare i suoni Helmholtz usava una serie di risonatori: sfere cave di dimensioni diverse, ciascuna con un’apertura da rivolgere alla sorgente e un piccolo beccuccio da infilare nell’orecchio. Ogni risonatore amplificava una sola frequenza, quella propria della sua cavità, e permetteva di sentire se quella componente era presente nel suono e quanto era forte. Come ricostruisce il Whipple Museum of the History of Science dell’Università di Cambridge, la conclusione di Helmholtz fu che il timbro dipende dall’intensità relativa delle parziali. Due strumenti che suonano la stessa nota con la stessa forza suonano diversi perché distribuiscono l’energia in modo diverso lungo la serie degli armonici.
È questo che oggi si chiama spettro: la rappresentazione di un suono come insieme di frequenze con le rispettive intensità. Ogni analizzatore di spettro di un software audio è, in fondo, un discendente digitale dei risonatori di Helmholtz.
Quando la regola si incrina
Le corde e i tubi ideali producono armonici esatti; quelli reali no. Una corda vera ha una certa rigidità, che fa salire leggermente le frequenze dei modi più alti: gli armonici superiori risultano un po’ crescenti. Anche i tubi reali hanno effetti di bordo che dipendono dalla frequenza. Eppure il suono di un violino ha un’altezza chiarissima. Il motivo, spiegano gli acustici di Sydney, è che l’archetto, con il suo ciclo di attrito e scivolamento, «aggancia» tutte le risonanze della corda e le costringe a vibrare in rapporti armonici esatti. Lo stesso vale, in modo analogo, per voce, fiati e ottoni: gli strumenti a suono sostenuto producono vibrazioni quasi perfettamente periodiche, mentre corde pizzicate e percussioni sono spesso, in misura diversa, inarmoniche.
Campane e piatti: suoni fuori dalla serie
Le campane sono l’esempio più celebre di suono inarmonico. Il loro spettro è dominato da alcune parziali con nomi tradizionali: l’«hum», circa due ottave sotto la parziale principale; la «prime», circa un’ottava sotto; la «tierce», una terza minore sopra la prime; la «quint», una quinta sopra; e la «nominal», la parziale di riferimento. Uno studio presentato da Helmut Fleischer al congresso europeo di acustica NAG/DAGA del 2009 ha mostrato che bastano queste cinque parziali perché un ascoltatore riconosca il suono come quello di una campana.
C’è di più. La nota che si attribuisce a una campana, chiamata nota di battuta, di solito non corrisponde a nessuna parziale realmente presente: è un’altezza che il sistema uditivo ricostruisce a partire da alcune parziali superiori, quasi in serie armonica fra loro. È un esempio di quella che gli psicoacustici chiamano altezza virtuale, legata al fenomeno della fondamentale mancante.
I piatti e i gong vanno ancora oltre. Le loro lamine metalliche sottili vibrano in modo non lineare, cioè la risposta non è proporzionale alla forza del colpo, e nei piatti il comportamento diventa caotico, producendo quel fruscio scintillante che non ha un’altezza definita. Il fisico australiano Neville Fletcher, in una relazione alla Acoustical Society of America del 1996, ha mostrato come la stessa teoria non lineare spieghi sia lo scintillio dei piatti sia il suono dei grandi gong cinesi, dominato da effetti di moltiplicazione della frequenza.
Tra il suono perfettamente armonico di una sinusoide sintetica e il caos di un piatto si estende l’intero universo dei timbri. La drone music, che spesso tiene una sola nota per lunghissimo tempo, è uno dei modi più diretti per accorgersene: quando la melodia si ferma, la serie degli armonici diventa finalmente udibile.
Fonti
- Harmonic series and inharmonicity e Sound spectra, di Joe Wolfe, Music Acoustics, University of New South Wales
- Sauveur, Joseph, Complete Dictionary of Scientific Biography, Encyclopedia.com
- Jean Baptiste Joseph Fourier, MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews
- Sensations of Tone, Wikipedia, consultata 2026
- Helmholtz Resonators: Tools for the Analysis of Sound, Whipple Museum of the History of Science, University of Cambridge
- Characteristic Tones and Modes of a Church Bell, di Helmut Fleischer, NAG/DAGA 2009, Rotterdam, 2009
- The musical pitch of bells, hibberts.co.uk, sito di ricerca sull’acustica delle campane
- Nonlinearity and the Sounds of Musical Instruments, di Neville H. Fletcher, Acoustical Society of America, 1996
